Задание 19 Базовая Математика №00051384

Число $36=4\cdot9$: число должно делиться на $4$ (по двум последним цифрам) и на $9$ (по сумме цифр). Нулей в записи нет — иначе произведение было бы $0$.

Какие числа от $51$ до $59$ можно получить произведением цифр? У $51=3\cdot17$, $52=4\cdot13$, $53$, $55=5\cdot11$, $57=3\cdot19$, $58=2\cdot29$, $59$ есть простой множитель больше $7$ — из однозначных множителей их не собрать. Остаются $54$ и $56$.

Пять цифр, остальные места — единицы. Наборы и суммы цифр:

$54$: $\{9;6;1;1;1\}$ — $18$; $\{9;3;2;1;1\}$ — $16$; $\{6;3;3;1;1\}$ — $14$; $\{3;3;3;2;1\}$ — $12$.

$56$: $\{8;7;1;1;1\}$ — $18$; $\{7;4;2;1;1\}$ — $15$; $\{7;2;2;2;1\}$ — $14$.

На $9$ делится сумма $18$: наборы $\{9;6;1;1;1\}$ и $\{8;7;1;1;1\}$.

Делимость на $4$. Из цифр $8$, $7$, $1$ на $4$ не делится ни одно двузначное окончание: $18$, $78$, $81$, $87$, $71$, $17$, $11$. Этот набор отпадает.

Из цифр $9$, $6$, $1$ на $4$ делятся окончания $16$ и $96$. С окончанием $16$ на первые три места идут $9$, $1$, $1$ — три числа: $91116$, $19116$, $11916$. С окончанием $96$ остаются три единицы — число $11196$.

Проверим себя: $11196=36\cdot311$, произведение цифр $9\cdot6=54$.

Почему засчитываются и другие числа. Условие просит любое одно такое число. Все четыре числа — $11196$, $11916$, $19116$, $91116$ — составлены из цифр $9$, $6$, $1$, $1$, $1$ (произведение $54$, сумма $18$) и оканчиваются на $16$ или $96$. Засчитывается любое из них.