Задание 19 Базовая Математика №00051374

Посмотрим, как меняется сумма цифр, когда к числу прибавляют $2$.

Если последняя цифра $A$ не больше $7$, меняется только она, и сумма цифр вырастает ровно на $2$. Две суммы, отличающиеся на $2$, не могут обе делиться на $7$. Значит, последняя цифра $A$ — $8$ или $9$, и при прибавлении $2$ происходит переход через десяток.

Если при этом цифра десятков не $9$, цифра единиц уменьшается на $8$, а цифра десятков растёт на $1$:

$$-8+1=-7.$$

Сумма цифр уменьшается ровно на $7$, поэтому обе суммы делятся на $7$, как только на $7$ делится сумма цифр $A$. (Если цифра десятков $9$, то есть $A$ равно $598$ или $599$, суммы цифр $22$ и $23$ на $7$ не делятся.)

Ищем числа от $551$ до $649$ на $8$ или $9$ с суммой цифр $14$ или $21$ (больших кратных $7$ у таких чисел не бывает):

при первой цифре $5$ сумма $21$ даёт $579$ и $588$, а сумма $14$ невозможна — цифра десятков здесь не меньше $5$;

при первой цифре $6$ цифра десятков от $0$ до $4$, и сумма $14$ даёт $608$, а $21$ уже не набрать.

Проверим себя: у $579$ сумма цифр $21$, у $581$ — $14$.

Почему засчитываются и другие числа. Условие просит любое одно такое число $A$. Подходят все три найденных числа — $579$, $588$ и $608$: у $588$ и $590$ суммы цифр $21$ и $14$, у $608$ и $610$ — $14$ и $7$. Засчитывается любое из них.