Задание 19 Базовая Математика №00051373

Разложим $120=8\cdot3\cdot5$: у этих множителей нет общих делителей, поэтому число должно делиться на $8$, на $3$ и на $5$.

Делимость на $5$: последняя цифра $0$ или $5$. Цифры чётные, значит, в конце $0$.

Делимость на $3$: кроме нуля, нужны ещё три различные цифры из $2$, $4$, $6$, $8$. Наборы и суммы: $2+4+6=12$, $2+4+8=14$, $2+6+8=16$, $4+6+8=18$. На $3$ делятся $12$ и $18$, поэтому годятся наборы $\{2;4;6\}$ и $\{4;6;8\}$.

Делимость на $8$ проверяют по трём последним цифрам. У нас они выглядят как $\overline{xy0}=10\cdot\overline{xy}$. Число $10\cdot\overline{xy}$ делится на $8$ ровно тогда, когда $\overline{xy}$ делится на $4$.

Набор $\{2;4;6\}$: из пар $24$, $26$, $42$, $46$, $62$, $64$ на $4$ делятся $24$ и $64$. Получаем $6240$ и $2640$.

Набор $\{4;6;8\}$: из пар $46$, $48$, $64$, $68$, $84$, $86$ на $4$ делятся $48$, $64$, $68$, $84$. Получаем $6480$, $8640$, $4680$, $6840$.

Всего шесть чисел: $2640$, $6240$, $4680$, $6480$, $6840$, $8640$. Проверим себя: $2640=120\cdot22$.

Почему засчитываются и другие числа. Условие просит любое одно такое число, а подходят два набора цифр и в каждом несколько расстановок. Все шесть чисел выше делятся на $120$ и записаны различными чётными цифрами, поэтому засчитывается любое из них.