Задание 19 Базовая Математика №00051372

Разложим $180=4\cdot5\cdot9$: эти множители попарно не имеют общих делителей, поэтому число должно делиться на $4$, на $5$ и на $9$.

Число кратно $5$, значит, оканчивается на $0$ или $5$. Все цифры чётные, поэтому последняя цифра — $0$.

Чётных цифр пять: $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, их сумма $20$. Нам нужны четыре различные, то есть все, кроме одной. Сумма цифр числа равна $20$ минус пропущенная цифра. Ноль пропустить нельзя — он стоит в конце.

Сумма должна делиться на $9$. Пропускаем $2$ — получаем $18$, это подходит. Пропуск $4$, $6$ или $8$ даёт $16$, $14$ или $12$ — на $9$ не делится. Значит, цифры числа — $0$, $4$, $6$, $8$.

Делимость на $4$ проверяем по двум последним цифрам. Перед нулём стоит $4$, $6$ или $8$, и окончания $40$, $60$, $80$ делятся на $4$. Значит, подходит любой порядок цифр $4$, $6$, $8$ перед нулём.

Получаем шесть чисел: $4680$, $4860$, $6480$, $6840$, $8460$, $8640$. Проверим себя: $6840=180\cdot38$.

Почему засчитываются и другие числа. Условие просит любое одно такое число. Цифры $4$, $6$, $8$ можно расставить перед нулём шестью способами, и каждое из шести чисел делится на $180$. Засчитывается любое из них.