Задание 19 Базовая Математика №00051367

Число $36=4\cdot9$, а у $4$ и $9$ нет общих делителей. Поэтому число делится на $36$ тогда и только тогда, когда оно делится и на $4$, и на $9$. Разберём оба условия.

Делимость на $9$ проверяют по сумме цифр. Если бы все семь цифр были единицами, сумма была бы $7$. Каждая двойка вместо единицы прибавляет к сумме $1$. Значит, сумма цифр равна $7$ плюс число двоек и лежит в пределах от $7$ до $14$.

Среди чисел от $7$ до $14$ на $9$ делится только $9$. Значит, двоек в записи ровно две:

$$7+2=9.$$

Делимость на $4$ проверяют по числу из двух последних цифр: всё, что стоит левее, — целые сотни, а $100$ делится на $4$. Из цифр $1$ и $2$ получаются окончания $11$, $12$, $21$, $22$. На $4$ из них делится только $12$.

Итак, число оканчивается на $12$. В этом окончании одна двойка, вторая стоит на одном из первых пяти мест, а все остальные цифры — единицы.

Вторую двойку можно поставить на любое из пяти мест, поэтому подходящих чисел пять: $2111112$, $1211112$, $1121112$, $1112112$, $1111212$.

Проверим себя: $2111112=36\cdot58642$.

Почему засчитываются и другие числа. Условие просит записать любое одно такое число. Все пять чисел выше подходят: в каждом ровно две двойки, поэтому сумма цифр равна $9$, и каждое оканчивается на $12$. Засчитывается любое из них.