Задание 18 Базовая Математика №00051348

Все четыре неравенства сравнивают $\log_{0{,}5}x$ с числами $1$ и $-1$. Запишем эти числа как логарифмы по основанию $0{,}5$:

$1=\log_{0{,}5}0{,}5$, потому что $0{,}5^1=0{,}5$;

$-1=\log_{0{,}5}2$, потому что $0{,}5^{-1}=\dfrac{1}{0{,}5}=2$.

Основание $0{,}5$ меньше единицы, поэтому функция $y=\log_{0{,}5}x$ убывает: чем больше $x$, тем меньше логарифм. Значит, когда от логарифмов переходим к самим числам, знак неравенства меняется на противоположный. Ещё помним, что под логарифмом стоит только положительное число: $x\gt0$.

А) $\log_{0{,}5}x\gt\log_{0{,}5}0{,}5$, отсюда $0\lt x\lt0{,}5$ — это $(0;\ 0{,}5)$, решение 4.

Б) $\log_{0{,}5}x\lt\log_{0{,}5}2$, отсюда $x\gt2$ — это $(2;\ +\infty)$, решение 1.

В) $\log_{0{,}5}x\gt\log_{0{,}5}2$, отсюда $0\lt x\lt2$ — это $(0;\ 2)$, решение 2.

Г) $\log_{0{,}5}x\lt\log_{0{,}5}0{,}5$, отсюда $x\gt0{,}5$ — это $(0{,}5;\ +\infty)$, решение 3.

Проверим себя числом из ответа А: $\log_{0{,}5}0{,}25=2$, и $2\gt1$ — верно.

Получаем: А — 4, Б — 1, В — 2, Г — 3.