Global EE

Параллелепи… — Задание 13 Базовая Математика №00051086

Задание №13. Стереометрия

Параллелепипед и куб

№2. Задание 13

ID: 00051086

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $DA$, $DC$ и диагональ параллелепипеда $DB_1$ равны соответственно $4$, $5$ и $5\sqrt{2}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Рисунок к заданию 13 Базовая Математика — Параллелепипед и куб

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Рёбра $DA$, $DC$ и $DD_1$ выходят из одной вершины — это три измерения параллелепипеда: длина, ширина и высота. Высота $DD_1$ неизвестна.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

$$DB_1^2=DA^2+DC^2+DD_1^2.$$

Подставим: $\left(5\sqrt2\right)^2=25\cdot 2=50$, поэтому

$$50=16+25+DD_1^2,\qquad DD_1^2=9,\qquad DD_1=3.$$

Объём — произведение трёх измерений:

$$V=4\cdot 5\cdot 3=60.$$

Проверим себя: $4^2+5^2+3^2=16+25+9=50=\left(5\sqrt2\right)^2$ — диагональ сходится.

Ответ

60
Другие задания по теме «Параллелепипед и куб» (8)