ID: 00036072
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с бо́льшим числом рёбер?
Источник: ФИПИ
Точки $A$, $B$ и $C$ расположены на трёх рёбрах куба вблизи одной вершины, поэтому секущая плоскость отсекает от куба маленький тетраэдр (4 грани, 6 рёбер), а вторая, бо́льшая часть получает заметно больше рёбер.
У этой большей части: 7 старых вершин куба (без срезанной) плюс 3 новые точки $A$, $B$, $C$ — итого 10 вершин; и 7 граней (3 нетронутых квадрата, 3 грани-пятиугольника после среза, плюс новая грань сечения).
Число рёбер большей части находим по формуле Эйлера $B-P+Г=2$: $10-P+7=2$, откуда $P=15$.
Это заметно больше 6 рёбер маленького тетраэдра, значит именно эта, бо́льшая часть — многогранник с бо́льшим числом рёбер, и у неё 7 граней.