ID: 00035836
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с бо́льшим числом граней?
Источник: ФИПИ
Точки $A$, $B$ и $C$ расположены на трёх рёбрах куба вблизи одной вершины, поэтому секущая плоскость отсекает от куба маленький многогранник — «уголок» в виде треугольной пирамиды с вершинами в этой угловой точке куба и точках $A$, $B$, $C$.
У этой маленькой пирамиды всего 4 грани: сечение $ABC$ и три треугольника при вершине куба.
Значит у оставшейся (большей) части — все остальные 6 граней куба, из которых 3 грани не задеты срезом (остались квадратами), а 3 грани, прилегавшие к срезанной вершине, стали пятиугольниками, плюс новая грань сечения $ABC$ — всего $3+3+1=7$ граней, это и есть многогранник с бо́льшим числом граней.
Посчитаем его вершины: из 8 вершин куба одна (та, что была срезана) исчезла, остались 7 старых вершин, и добавились 3 новые точки $A$, $B$, $C$ на месте среза.
Итого вершин у большей части: $7+3=10$.