ID: 00035615
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK=\dfrac{1}{3}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна $30$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Источник: ФИПИ
Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол при вершине $A$. Раз $M$ — середина $AC$, то $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac12$; по условию $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac13$.
Отношение площадей треугольников с общим углом равно произведению отношений прилежащих сторон:
$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AC}\cdot\dfrac{AK}{AB}=\dfrac12\cdot\dfrac13=\dfrac16.$$
Отсюда:
$$S_{ABC}=6\cdot S_{AMK}=6\cdot30=180.$$