В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AB. Площадь треугольника AMK равна 4. Найдите площадь треугольника ABC.

Треугольник… — Задание 12 Базовая Математика №00035542

Задание №12. Планиметрия

Треугольники и их элементы

№2. Задание 12

ID: 00035542

В треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$BM$$ , на стороне $$AB$$ взята точка $$K$$ так, что $AK=\dfrac{1}{4}AB$ . Площадь треугольника $$AMK$$ равна $$4$$ . Найдите площадь треугольника $$ABC$$ .

Рисунок к заданию 12 Базовая Математика — Треугольники и их элементы

Источник: ФИПИ

Решение

Треугольники $$AMK$$ и $$ABC$$ имеют общий угол при вершине $$A$$ . Раз $$M$$ — середина $$AC$$ , то $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac12$ ; по условию $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac14$ .

Отношение площадей треугольников с общим углом равно произведению отношений прилежащих сторон:

$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AC}\cdot\dfrac{AK}{AB}=\dfrac12\cdot\dfrac14=\dfrac18.$

Отсюда:

$S_{ABC}=8\cdot S_{AMK}=8\cdot4=32.$

Ответ

Другие задания по теме «Треугольники и их элементы» (8)