ID: 00035146
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$, $AC=12$, $\mathrm{tg}\angle BAC=\dfrac{\sqrt{13}}{6}$. Найдите длину стороны $AB$.
Источник: ФИПИ
Треугольник равнобедренный: $AB=BC$, основание $AC=12$. Опустим высоту $BM$ на основание — она делит его пополам: $AM=6$.
Тангенс угла $A$ (базового угла) в прямоугольном треугольнике $ABM$ связывает высоту с половиной основания:
$$\mathrm{tg}\angle BAC=\dfrac{BM}{AM}\ \Rightarrow\ BM=AM\cdot\mathrm{tg}\angle BAC=6\cdot\dfrac{\sqrt{13}}{6}=\sqrt{13}$$.
Боковую сторону найдём по теореме Пифагора:
$$AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{36+13}=\sqrt{49}=7.$$