ID: 00034902
В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB=51$, $\sin A=\dfrac{15}{17}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Источник: ФИПИ
Треугольник равнобедренный, боковая сторона $AB=BC=51$, основание $AC$. Опустим высоту $BK$ на основание — она же медиана: $K$ середина $AC$.
В прямоугольном треугольнике $ABK$ гипотенуза $AB=51$, $\sin A=\dfrac{15}{17}$ — отношение $BK$ к $AB$: $$BK=AB\cdot\sin A=51\cdot\dfrac{15}{17}=45.$$
Найдём $\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\dfrac{225}{289}}=\sqrt{\dfrac{64}{289}}=\dfrac8{17}$, тогда: $$AK=AB\cdot\cos A=51\cdot\dfrac8{17}=24,\qquad AC=2\cdot AK=48.$$
Площадь: $$S=\dfrac12\cdot AC\cdot BK=\dfrac12\cdot48\cdot45=1080.$$