ID: 00034818
В треугольнике $ABC$ известно, что $BC=4\sqrt3$, $AC=8\sqrt3$, внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$. Найдите $AB$.
Источник: ФИПИ
Внешний угол при вершине $C$ равен $120^\circ$, значит внутренний: $$\angle C=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$
По теореме косинусов: $$AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot\cos C.$$
Подставим: $$BC^2=(4\sqrt3)^2=48,\quad AC^2=(8\sqrt3)^2=192,\quad BC\cdot AC=4\sqrt3\cdot8\sqrt3=32\cdot3=96.$$
$$AB^2=48+192-2\cdot96\cdot0{,}5=240-96=144\Rightarrow AB=\sqrt{144}=12.$$