ID: 00034671
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$, медиана $BM$ равна 5. Площадь треугольника $ABC$ равна $10\sqrt6$. Найдите длину стороны $AB$.
Источник: ФИПИ
Так как $AB=BC$, треугольник равнобедренный, и медиана $BM$ к основанию $AC$ — это ещё и высота: $BM\perp AC$.
Площадь через основание и высоту: $$S=\dfrac12\cdot AC\cdot BM\Rightarrow AC=\dfrac{2S}{BM}=\dfrac{2\cdot10\sqrt6}{5}=4\sqrt6.$$
Половина основания: $$AM=\dfrac{AC}{2}=2\sqrt6.$$
В прямоугольном треугольнике $ABM$ по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{(2\sqrt6)^2+5^2}=\sqrt{24+25}=\sqrt{49}=7.$$