ID: 00034662
На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC=27$. Найдите диаметр окружности.
Источник: ФИПИ
Угол $COB$ — центральный, опирается на дугу $CB$: $\angle COB=120^\circ$.
Угол $CAB$ — вписанный, опирается на ту же дугу $CB$, значит вдвое меньше: $$\angle CAB=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$
$AB$ — диаметр, поэтому угол $ACB$, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ACB=90^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $ACB$ известны катет $AC=27$ и угол $A=60^\circ$, а $AB$ — гипотенуза: $$AB=\dfrac{AC}{\cos A}=\dfrac{27}{\cos60^\circ}=\dfrac{27}{0{,}5}=54.$$