ID: 00034302
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=5:6$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?
Источник: ФИПИ
Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$: $M$ лежит на стороне $AB$, $K$ — на стороне $BC$.
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: $S=\dfrac12\cdot(\text{сторона}_1)\cdot(\text{сторона}_2)\cdot\sin(\text{угол между ними})$.
Синус угла $B$ общий для обоих треугольников, поэтому отношение площадей равно произведению отношений сторон: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{MBK}}=\dfrac{AB}{BM}\cdot\dfrac{BC}{BK}$.
По условию $BM:AB=1:2$, значит $\dfrac{AB}{BM}=2$. И $BK:BC=5:6$, значит $\dfrac{BC}{BK}=\dfrac65$.
Перемножаем: $2\cdot\dfrac65=\dfrac{12}{5}=2{,}4$.