В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и K соответственно так, что BM: AB равно 1: 2, а BK: BC равно 5: 6. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади треугольника MBK?

Треугольник… — Задание 12 Базовая Математика №00034302

Задание №12. Планиметрия

Треугольники и их элементы

№2. Задание 12

ID: 00034302

В треугольнике $$ABC$$ на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ отмечены точки $$M$$ и $$K$$ соответственно так, что $$BM:AB=1:2$$ , а $$BK:BC=5:6$$ . Во сколько раз площадь треугольника $$ABC$$ больше площади треугольника $$MBK$$ ?

Рисунок к заданию 12 Базовая Математика — Треугольники и их элементы

Источник: ФИПИ

Решение

Треугольники $$ABC$$ и $$MBK$$ имеют общий угол $$B$$ : $$M$$ лежит на стороне $$AB$$ , $$K$$ — на стороне $$BC$$ .

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: $S=\dfrac12\cdot(\text{сторона}_1)\cdot(\text{сторона}_2)\cdot\sin(\text{угол между ними})$ .

Синус угла $$B$$ общий для обоих треугольников, поэтому отношение площадей равно произведению отношений сторон: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{MBK}}=\dfrac{AB}{BM}\cdot\dfrac{BC}{BK}$ .

По условию $$BM:AB=1:2$$ , значит $\dfrac{AB}{BM}=2$ . И $$BK:BC=5:6$$ , значит $\dfrac{BC}{BK}=\dfrac65$ .

Перемножаем: $2\cdot\dfrac65=\dfrac{12}{5}=2{,}4$ .

Ответ

2,4

Другие задания по теме «Треугольники и их элементы» (8)