Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045649

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045649

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

Рисунок к заданию 17 ЕГЭ по математике — Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой $l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}$.

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=48$ м, $u=2{,}5$ м/с, $v=2{,}4$ м/с.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Время переправы определяется поперечной скоростью, поэтому допустимы углы $0\lt\alpha\lt\pi$. На этом промежутке и числитель, и знаменатель формулы сноса положительны.

Положим $c=\cos\alpha$. Тогда $l=\dfrac{(\dfrac{h}{v})(u+vc)}{\sqrt{1-c^2}}$, где $-1\lt c\lt1$. Найдём производную переменной дроби по $c$:

$$\left(\dfrac{u+vc}{\sqrt{1-c^2}}\right)'=\dfrac{v(1-c^2)+c(u+vc)}{(1-c^2)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{v+uc}{(1-c^2)^{\frac{3}{2}}}.$$

Знак меняется с минуса на плюс при $c=-\dfrac{v}{u}=-\dfrac{24}{25}$. Поэтому это единственный минимум; точка лежит внутри допустимого промежутка.

Здесь $\sqrt{1-c^2}=\dfrac{7}{25}$. Подстановка даёт $l=\dfrac{48[\dfrac{5}{2}-(\dfrac{12}{5})(\dfrac{24}{25})]}{[(\dfrac{12}{5})(\dfrac{7}{25})]}=48\cdot\dfrac{(\dfrac{49}{250})}{(\dfrac{84}{125})}=14$ м.

Проверим другой оценкой: $l_{\min}=(\dfrac{h}{v})\sqrt{u^2-v^2}=48\cdot\dfrac{\sqrt{6{,}25-5{,}76}}{2{,}4}=48\cdot\dfrac{0{,}7}{2{,}4}=14$ м. На концах области знаменатель стремится к нулю при положительном числителе, так что меньшего сноса там нет.

Ответ

$l_{\min}=14\ \text{м}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)