Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045648

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045648

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

Рисунок к заданию 17 ЕГЭ по математике — Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой $l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}$.

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=45$ м, $u=3{,}5$ м/с, $v=2{,}1$ м/с.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

На рисунке $h$ — ширина реки, $l$ — снос вдоль берега. Для переправы $0\lt\alpha\lt\pi$, значит $\sin\alpha\gt0$.

Введём $t=\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Он принимает все вещественные значения, а $\dfrac{1}{\sin\alpha}=\sqrt{1+t^2}$. Формула сноса превращается в $l(t)=45[(\dfrac{5}{3})\sqrt{1+t^2}+t]$, поскольку $\dfrac{u}{v}=\dfrac{3{,}5}{2{,}1}=\dfrac{5}{3}$.

Производная равна $l'(t)=45[\dfrac{(\dfrac{5}{3})t}{\sqrt{1+t^2}}+1]$. Для нуля производной нужно $\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}=-\dfrac{3}{5}$, поэтому $t$ отрицателен.

Возводим в квадрат: $25t^2=9(1+t^2)$, откуда $16t^2=9$. С учётом знака $t=-\dfrac{3}{4}$. Функция $\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}$ строго возрастает, её производная $\dfrac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}\gt0$. Следовательно, $l'$ меняет знак с минуса на плюс, и это глобальный минимум.

Вычислим $\sqrt{1+\dfrac{9}{16}}=\dfrac{5}{4}$. Получаем $l_{\min}=45[(\dfrac{5}{3})(\dfrac{5}{4})-\dfrac{3}{4}]=45(\dfrac{25}{12}-\dfrac{9}{12})=45\cdot\dfrac{4}{3}=60$ м.

Проверим исходным углом: $\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$, $\cos\alpha=-\dfrac{3}{5}$. Тогда $l=\dfrac{45(3{,}5-2{,}1\cdot\dfrac{3}{5})}{(2{,}1\cdot\dfrac{4}{5})}=45\cdot\dfrac{2{,}24}{1{,}68}=60$ м.

Ответ

$l_{\min}=60\ \text{м}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)