Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045641

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045641

Распределение скорости молекулы метана при тепловом движении имеет функцию плотности $f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac M{2\pi RT}\right)^{\dfrac32}\cdot e^{-\dfrac{Mv^2}{2RT}}$ (распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}016\,\dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса метана, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=600$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Заменим квадрат скорости новой переменной $z=v^2\geqslant0$. При неотрицательных скоростях эта замена однозначна, поэтому максимум по $z$ даст максимум по $v$.

Постоянные соберём в множитель $A\gt0$, обозначим $b=\dfrac{M}{(2RT)}$. Плотность имеет вид $H(z)=Az e^{-bz}$.

Её производная $H'(z)=Ae^{-bz}(1-bz)$. Она положительна при $z\lt\dfrac{1}{b}$ и отрицательна при $z\gt\dfrac{1}{b}$. В нуле плотность нулевая; максимум достигается при $z=\dfrac{1}{b}=\dfrac{2RT}{M}$.

Для метана $z=2\cdot\dfrac{600R}{0{,}016}=\dfrac{1200R}{0{,}016}=75000R=2500\cdot30R$.

Возвращаемся к скорости: $v=\sqrt z=50\sqrt{30R}$ м/с.

Проверим качественно: при увеличении температуры значение $\dfrac{2RT}{M}$ растёт, при увеличении массы уменьшается. Формула даёт более быстрые молекулы при нагреве и более медленные при большей массе, как и ожидается.

Ответ

$v=50\sqrt{30R}\ \text{м/с}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)