Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045647

Все величины, кроме частоты $\omega$, заданы, и нужно найти частоту, при которой $U_L$ наибольшее. Напряжение положительно, поэтому оно наибольшее там же, где наибольший его квадрат, — так уйдёт корень в знаменателе.

Возведём формулу в квадрат:

$$U_L^2=\dfrac{U^2L^2\omega^2}{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}.$$

Разделим числитель и знаменатель на $L^2\omega^2$. В числителе останется $U^2$. В знаменателе первое слагаемое станет $\dfrac{R^2}{L^2\omega^2}$, а скобка после деления на $L\omega$ превратится в $1-\dfrac{1}{LC\omega^2}$:

$$U_L^2=\dfrac{U^2}{\dfrac{R^2}{L^2\omega^2}+\left(1-\dfrac{1}{LC\omega^2}\right)^2}.$$

Частота входит сюда только через $\omega^2$. Введём положительную переменную $t=\dfrac{1}{LC\omega^2}$. Тогда $\dfrac{1}{\omega^2}=LCt$, и первое слагаемое знаменателя равно $\dfrac{R^2\cdot LCt}{L^2}=\dfrac{R^2C}{L}\,t$. Получаем

$$U_L^2=\dfrac{U^2}{(1-t)^2+\dfrac{R^2C}{L}t}.$$

Считаем коэффициент: $\dfrac{R^2C}{L}=100\cdot\dfrac{0{,}0001}{0{,}015}=\dfrac{2}{3}$. Поэтому знаменатель равен $t^2-\tfrac43t+1$.

Выделим квадрат: $t^2-\tfrac43t+1=(t-\tfrac23)^2+\tfrac59$. Наименьшее значение $\dfrac{5}{9}$ достигается при положительном $t=\dfrac{2}{3}$.

Числитель постоянен, поэтому в этой точке напряжение максимально. Возвращаясь к частоте, находим $\omega^2=\dfrac{1}{LCt}$.

Здесь $LC=0{,}015\cdot0{,}0001=0{,}0000015$, а $LCt=0{,}0000015\cdot\dfrac{2}{3}=0{,}000001$. Следовательно, $\omega^2=1000000$ и $\omega=1000\ \text{с}^{-1}$.

Проверим в исходной формуле: $\omega L=15$, $\dfrac{1}{\omega C}=10$, знаменатель $\sqrt{100+25}=5\sqrt5$. Тогда $U_L=311\cdot\dfrac{15}{5\sqrt5}=\dfrac{933}{\sqrt5}$, что совпадает с $\dfrac{U}{\sqrt{\dfrac{5}{9}}}$.