Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045645

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045645

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома: $I=\dfrac\varepsilon{r+R}$, где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять зарядная станция.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Ток зависит от сопротивления, поэтому сначала подставим его в мощность: $P(R)=\dfrac{900R}{(1+R)^2}$, $R\geqslant0$.

Производная на положительной полуоси равна

$$P'(R)=900\dfrac{(1+R)-2R}{(1+R)^3}=900\dfrac{1-R}{(1+R)^3}.$$

Знаменатель положителен. Функция растёт при $0\lt R\lt1$ и убывает при $R\gt1$, поэтому максимальна при $R=1$ Ом. Граничное значение $P(0)=0$ больше быть не может.

Подставляем найденное сопротивление: $P(1)=\dfrac{900}{(1+1)^2}=\dfrac{900}{4}=225$ Вт.

Проверим без производной: $(1+R)^2-4R=(R-1)^2\geqslant0$, поэтому $P(R)\leqslant225$ при $R\gt0$. Равенство возможно именно в найденной точке.

Ответ

$P_{\max}=225\ \text{Вт}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)