Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045642

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045642

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой $A(\tau)=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}$.

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0\lt n\lt 0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14{,}6$ с?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Период волны положителен. Множитель $K=k\theta_0$ задаёт масштаб амплитуды; при рассматриваемой волне он положителен и не влияет на положение максимума.

Введём $z=\dfrac{\tau^2}{T^2}\gt0$. Тогда квадрат амплитуды равен $A^2=K^2F(z)$, где $F(z)=\dfrac{z^2}{[z^2+(n-2)z+1]}$.

Знаменатель положителен: это $(1-z)^2+nz$, а $n\gt0$. По правилу производной дроби

$$F'(z)=\dfrac{2z[z^2+(n-2)z+1]-z^2(2z+n-2)}{[z^2+(n-2)z+1]^2}=\dfrac{z[2-(2-n)z]}{[z^2+(n-2)z+1]^2}.$$

Так как $0\lt n\lt0{,}5$, число $2-n$ положительно. Производная меняет знак с плюса на минус при $z_0=\dfrac{2}{(2-n)}$. Это единственный глобальный максимум на положительной полуоси.

Из $\dfrac{\tau^2}{T^2}=z_0$ получаем $\tau=T\sqrt{\dfrac{2}{(2-n)}}$. При $T=14{,}6$ с это $\tau=14{,}6\sqrt{\dfrac{2}{(2-n)}}$ с.

Проверка при допустимом $n=0{,}25$: $z_0=\dfrac{8}{7}$. В числителе производной $2-(\dfrac{7}{4})(\dfrac{8}{7})=0$, а слева от этой точки знак положителен, справа отрицателен.

Ответ

$\tau=14{,}6\sqrt{\dfrac2{2-n}}\ \text{с}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)