Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045646

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045646

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону $U_L(\omega)=\dfrac{UL\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac1{\omega C}\right)^2}}$, где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в $\text{с}^{-1}$), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=311$ В, $L=0{,}018$ Гн, $C=10^{-5}$ Ф и $R=20$ Ом?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Возведём положительную амплитуду в квадрат и умножим числитель и знаменатель на $\omega^2$. При замене $s=\omega^2\gt0$ получим

$$U_L^2=U^2L^2\dfrac{s^2}{L^2s^2+(R^2-\dfrac{2L}{C})s+\dfrac{1}{C^2}}.$$

Постоянный положительный множитель не влияет на точку максимума. Обозначим знаменатель через $D(s)$. В исходной форме это $R^2s+(Ls-\dfrac{1}{C})^2$, поэтому он положителен.

Для $F(s)=\dfrac{s^2}{D(s)}$ числитель производной равен $2sD(s)-s^2D'(s)$. Раскрыв скобки, получаем $s[(R^2-\dfrac{2L}{C})s+\dfrac{2}{C^2}]$.

Подставляем $L=0{,}018$, $C=0{,}00001$, $R=20$: $R^2-\dfrac{2L}{C}=400-3600=-3200$, $\dfrac{2}{C^2}=20000000000$.

Значит, знак производной определяется выражением $20000000000-3200s$. Оно положительно до $s_0=\dfrac{20000000000}{3200}=6250000$ и отрицательно после. Это единственный глобальный максимум.

Возвращаемся к частоте: $\omega=\sqrt{6250000}=2500\ \text{с}^{-1}$.

Проверим обратной заменой: $\dfrac{1}{\omega^2}=0{,}00000016$. Это совпадает с $LC-\dfrac{R^2C^2}{2}=0{,}00000018-0{,}00000002=0{,}00000016$, координатой вершины знаменателя при альтернативном исследовании.

Ответ

$\omega=2500\ \text{с}^{-1}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)