Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045644

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045644

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $r=3$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома: $I=\dfrac\varepsilon{r+R}$, где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять зарядная станция.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Мощность можно исследовать через силу тока. Из закона Ома $I=\dfrac{30}{(3+R)}$ выразим внешнее сопротивление: $R=\dfrac{30}{I}-3$.

При $R\geqslant0$ ток удовлетворяет $0\lt I\leqslant10$. Подставим сопротивление в мощность: $P=I^2(\dfrac{30}{I}-3)=30I-3I^2$.

Это квадратный трёхчлен с отрицательным коэффициентом при квадрате. Выделим полный квадрат:

$$P=75-3(I-5)^2.$$

Поскольку квадрат неотрицателен, мощность не больше $75$ Вт. Равенство достигается при $I=5$ А, что находится в допустимом промежутке.

Соответствующее сопротивление $R=\dfrac{30}{5}-3=3$ Ом. Проверка исходной формулой: $I=\dfrac{30}{(3+3)}=5$ А, $P=5^2\cdot3=75$ Вт. Поэтому найденная верхняя граница действительно достигается.

Ответ

$P_{\max}=75\ \text{Вт}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)