Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045643

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045643

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой $A(\tau)=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}$.

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0\lt n\lt 0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=16$ с?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Пусть $K=k\theta_0\gt0$. Разделим числитель и выражение под корнем на $\tau^2$ и $\tau^4$ соответственно. Для $\tau\gt0$ получим $A=\dfrac{K}{\sqrt{(\dfrac{T^2}{\tau^2}-1)^2+\dfrac{nT^2}{\tau^2}}}$.

Обозначим $t=\dfrac{T^2}{\tau^2}\gt0$. Чтобы амплитуда была наибольшей, выражение $D(t)=(t-1)^2+nt$ должно быть наименьшим.

Выделим полный квадрат:

$$D(t)=t^2+(n-2)t+1=\left(t-\dfrac{2-n}{2}\right)^2+1-\dfrac{(2-n)^2}{4}.$$

Единственный минимум достигается при $t_0=\dfrac{(2-n)}{2}$. Он положителен для всех заданных $n$. Минимальное значение знаменателя положительно, поскольку $1-\dfrac{(2-n)^2}{4}=\dfrac{n(4-n)}{4}\gt0$.

Возвращаемся к периоду: $\dfrac{T^2}{\tau^2}=\dfrac{(2-n)}{2}$, следовательно $\tau=T\sqrt{\dfrac{2}{(2-n)}}=16\sqrt{\dfrac{2}{(2-n)}}$ с.

Проверим знак производной знаменателя: $D'(t)=2t+n-2$ отрицательна до вершины и положительна после. Обратная замена проходит по всем положительным периодам, поэтому максимум глобальный.

Ответ

$\tau=16\sqrt{\dfrac2{2-n}}\ \text{с}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)