Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045640

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045640

Распределение скорости молекулы водорода при тепловом движении имеет функцию плотности $f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac M{2\pi RT}\right)^{\dfrac32}\cdot e^{-\dfrac{Mv^2}{2RT}}$ (распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}002\,\dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса водорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=300$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Все множители, кроме $v^2$ и экспоненты, постоянны и положительны. Обозначим $b=\dfrac{M}{(2RT)}\gt0$; тогда достаточно исследовать $h(v)=v^2e^{-bv^2}$ при $v\geqslant0$.

Для положительной скорости логарифм этой функции равен $g(v)=2\ln v-bv^2$. Его производная $g'(v)=\dfrac{2}{v}-2bv=\dfrac{2(1-bv^2)}{v}$.

До $v=\dfrac{1}{\sqrt b}$ производная положительна, после — отрицательна. При $v=0$ плотность нулевая. Значит, наибольшее значение достигается при $v=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}$.

Подставим $T=300$ и $M=0{,}002$: $\dfrac{2RT}{M}=\dfrac{600R}{0{,}002}=300000R=10000\cdot30R$.

Получаем $v=100\sqrt{30R}$ м/с. Число $R$ в условии не задано, поэтому оставляем его в точном ответе.

Проверка непосредственной производной: $h'(v)=2ve^{-bv^2}(1-bv^2)$ имеет ту же смену знака. Единицы $\dfrac{RT}{M}$ — квадрат скорости, после извлечения корня получаются м/с.

Ответ

$v=100\sqrt{30R}\ \text{м/с}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)