Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045639

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045639

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности $f(\varepsilon)=2\sqrt{\dfrac\varepsilon\pi}\cdot\left(\dfrac1{kT}\right)^{\dfrac32}\cdot e^{-\dfrac\varepsilon{kT}}$, где $k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}$ — постоянная Больцмана, $\varepsilon$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\varepsilon$, при котором функция плотности $f(\varepsilon)$ принимает наибольшее значение, если $T=75$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Положительные постоянные не влияют на расположение вершины. Обозначим $q=kT$ и исследуем $h(\varepsilon)=\sqrt{\varepsilon}e^{-\dfrac{\varepsilon}{q}}$ при $\varepsilon\geqslant0$.

При $\varepsilon\gt0$ применим правило производной произведения:

$$h'(\varepsilon)=e^{-\dfrac{\varepsilon}{q}}\left(\dfrac1{2\sqrt{\varepsilon}}-\dfrac{\sqrt{\varepsilon}}q\right)=\dfrac{e^{-\dfrac{\varepsilon}{q}}}{2q\sqrt{\varepsilon}}(q-2\varepsilon).$$

Множитель перед скобкой положителен. Поэтому плотность растёт при $0\lt\varepsilon\lt\dfrac{q}{2}$ и убывает при $\varepsilon\gt\dfrac{q}{2}$. В нуле она равна нулю, так что максимум достигается при $\dfrac{q}{2}$.

Подставим $q=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot75=103{,}5\cdot10^{-23}=1{,}035\cdot10^{-21}$ Дж. Искомая энергия $\varepsilon=0{,}5175\cdot10^{-21}=5{,}175\cdot10^{-22}$ Дж.

Проверка через квадрат плотности: он пропорционален $\varepsilon e^{-\dfrac{2\varepsilon}{q}}$, производная которого имеет знак $1-\dfrac{2\varepsilon}{q}$. Получилась та же точка смены роста убыванием.

Ответ

$\varepsilon=5{,}175\cdot10^{-22}\ \text{Дж}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)