Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045638

Температура фиксирована, поэтому все постоянные множители можно объединить в положительное число $A$. Получим $f(\varepsilon)=A\sqrt{\varepsilon}\,e^{-\dfrac{\varepsilon}{q}}$, где $q=kT\gt0$ и $\varepsilon\geqslant0$.

Для положительной энергии функция положительна. Логарифм возрастает, значит максимум функции и её логарифма достигается при одной энергии.

Запишем $g(\varepsilon)=\ln f(\varepsilon)=\ln A+\tfrac12\ln\varepsilon-\dfrac{\varepsilon}{q}$. Производная $g'(\varepsilon)=\dfrac{1}{(2\varepsilon)}-\dfrac{1}{q}=\dfrac{(q-2\varepsilon)}{(2q\varepsilon)}$.

Знаменатель положителен. Производная положительна до $\varepsilon=\dfrac{q}{2}$ и отрицательна после, поэтому это точка максимума. При нулевой энергии исходная плотность равна нулю, а при бесконечном росте энергии стремится к нулю, поскольку экспонента убывает быстрее корня.

Посчитаем $q=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot90=124{,}2\cdot10^{-23}=1{,}242\cdot10^{-21}$ Дж. Тогда $\varepsilon=\dfrac{q}{2}=6{,}21\cdot10^{-22}$ Дж.

Проверим знак производной в соседних точках: при $\varepsilon=\dfrac{q}{4}$ она положительна, при $\varepsilon=q$ отрицательна. Найденная вершина лежит между ними.