К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой эпсилон равно 30 В и внутренним сопротивлением r равно 2 Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома: I равно дробь: числитель: эпсилон, знаменатель: r плюс R конец дроби, где R — сопротивление зарядной станции (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна P равно I в квадрате R. При каком сопротивлении R зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность P наибольшая?

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045637

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045637

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $$r=2$$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома: $I=\dfrac\varepsilon{r+R}$ , где $$R$$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $$P=I^2R$$ . При каком сопротивлении $$R$$ зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность $$P$$ наибольшая?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

После подстановки тока мощность равна $P(R)=\dfrac{900R}{(R+2)^2}$ , где сопротивление $R\geqslant0$ .

При $R\gt0$ раскроем квадрат знаменателя так, чтобы увидеть неотрицательную добавку: $$(R+2)^2=(R-2)^2+8R$$ .

Так как $(R-2)^2\geqslant0$ , знаменатель не меньше $$8R$$ . Отсюда $P(R)\leqslant\dfrac{900R}{(8R)}=112{,}5$ Вт.

Равенство достигается только при $$R-2=0$$ , то есть при $$R=2$$ Ом. Эта точка допустима, а при $$R=0$$ мощность нулевая, поэтому найден глобальный максимум.

Проверим исходные формулы: $I=\dfrac{30}{(2+2)}=7{,}5$ А, $P=7{,}5^2\cdot2=56{,}25\cdot2=112{,}5$ Вт.

Ответ

$R=2\ \text{Ом}$ .

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)