Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045636

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045636

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $r=1{,}5$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома: $I=\dfrac\varepsilon{r+R}$, где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. При каком сопротивлении $R$ зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Большое сопротивление уменьшает ток, но мощность содержит ещё множитель $R$. Нужно учесть оба эффекта, а не искать самый большой ток.

Подставим закон Ома в формулу мощности: $P(R)=\dfrac{900R}{(R+1{,}5)^2}$, где $R\geqslant0$.

Для $R\gt0$ дифференцируем:

$$P'(R)=900\dfrac{(R+1{,}5)^2-2R(R+1{,}5)}{(R+1{,}5)^4}=900\dfrac{1{,}5-R}{(R+1{,}5)^3}.$$

Знаменатель положителен. При $R\lt1{,}5$ мощность растёт, при $R\gt1{,}5$ убывает. Поэтому единственный максимум достигается при $R=1{,}5$ Ом.

На границе $R=0$ мощность нулевая; при $R\to+\infty$ она тоже стремится к нулю. Это подтверждает глобальность максимума.

Проверим подстановкой: ток $I=\dfrac{30}{(1{,}5+1{,}5)}=10$ А, мощность $P=10^2\cdot1{,}5=150$ Вт. Искомое сопротивление — $1{,}5$ Ом.

Ответ

$R=1{,}5\ \text{Ом}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)