Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045635

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045635

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

Рисунок к заданию 17 ЕГЭ по математике — Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой $l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}$.

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=75$ м, $u=2{,}6$ м/с, $v=1$ м/с.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Из-за течения числитель $u+v\cos\alpha$ всегда положителен: $u\gt v$. Для переправы выбираем $0\lt\alpha\lt\pi$, поэтому синус тоже положителен.

Обозначим $c=\cos\alpha$. Тогда $-1\lt c\lt1$, а квадрат сноса равен $l^2=\dfrac{(\dfrac{h^2}{v^2})(u+vc)^2}{(1-c^2)}$.

Сравним переменную дробь с $u^2-v^2$. Разность её числителей после приведения к общему знаменателю превращается в квадрат:

$$(u+vc)^2-(u^2-v^2)(1-c^2)=(v+uc)^2\geqslant0.$$

Значит, $l^2\geqslant(\dfrac{h^2}{v^2})(u^2-v^2)$. Равенство возможно при $c=-\dfrac{v}{u}=-\dfrac{5}{13}$, и это допустимый косинус. Таким образом, $l_{\min}=(\dfrac{h}{v})\sqrt{u^2-v^2}$.

Подставим числа: $u^2-v^2=2{,}6^2-1^2=6{,}76-1=5{,}76$, корень равен $2{,}4$. Получаем $l_{\min}=75\cdot2{,}4=180$ м.

Проверка достижения: при $\cos\alpha=-\dfrac{5}{13}$ синус равен $\dfrac{12}{13}$, и $\dfrac{75(\dfrac{13}{5}-\dfrac{5}{13})}{(\dfrac{12}{13})}=75\cdot\dfrac{12}{5}=180$.

Ответ

$l_{\min}=180\ \text{м}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)