Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045634

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045634

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

Рисунок к заданию 17 ЕГЭ по математике — Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой $l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}$.

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=60$ м, $u=1{,}3$ м/с, $v=1{,}2$ м/с.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Чтобы лодка двигалась к противоположному берегу, её поперечная скорость должна быть положительной: $0\lt\alpha\lt\pi$. На рисунке $h$ — ширина реки, а $l$ — снос вдоль противоположного берега.

В формуле $l=\dfrac{(\dfrac{h}{v})(u+v\cos\alpha)}{\sin\alpha}$ числа $h$ и $v$ постоянны. По правилу производной дроби

$$l'(\alpha)=\dfrac h v\cdot\dfrac{-v\sin^2\alpha-(u+v\cos\alpha)\cos\alpha}{\sin^2\alpha}=-\dfrac h v\cdot\dfrac{v+u\cos\alpha}{\sin^2\alpha}.$$

Косинус на этом промежутке убывает от $1$ до $-1$. Поэтому производная меняет знак с минуса на плюс при $\cos\alpha=-\dfrac{v}{u}=-\dfrac{12}{13}$. Это единственная точка минимума.

Для этого угла $\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{144}{169}}=\dfrac{5}{13}$. Подставим в формулу:

$$l=60\cdot\dfrac{\dfrac{13}{10}-(\dfrac{12}{10})(\dfrac{12}{13})}{(\dfrac{12}{10})(\dfrac{5}{13})}=60\cdot\dfrac{\dfrac{25}{130}}{\dfrac{60}{130}}=25\ \text{м}.$$

Проверим глобальность: при приближении угла к $0$ или $\pi$ знаменатель стремится к нулю, а числитель остаётся положительным, ведь $u\gt v$. Снос там растёт без ограничения; найденный минимум действительно наименьший.

Ответ

$l_{\min}=25\ \text{м}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)