Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045633

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045633

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону $U_L(\omega)=\dfrac{UL\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$, где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в $\text{с}^{-1}$), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=311$ В, $L=0{,}057$ Гн, $C=2\cdot10^{-5}$ Ф и $R=50$ Ом?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Не будем сразу дифференцировать громоздкую дробь. Её положительный квадрат максимален тогда, когда обратная величина минимальна.

Пусть $t=\dfrac{1}{\omega^2}\gt0$. Из формулы условия следует

$$\dfrac{U^2L^2}{U_L^2}=R^2t+(L-\dfrac{t}{C})^2.$$

При $R=50$, $L=0{,}057$, $C=0{,}00002$ правая часть равна $2500t+(0{,}057-50000t)^2=2500000000t^2-3200t+0{,}003249$.

Выделим полный квадрат:

$$2500000000t^2-3200t+0{,}003249=2500000000(t-0{,}00000064)^2+0{,}002225.$$

Квадрат неотрицателен, а значит минимум выражения достигается только при $t=0{,}00000064$. Это разрешённое положительное значение.

По определению $t$, частота равна $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{t}}=\dfrac{1}{0{,}0008}=1250\ \text{с}^{-1}$.

Проверим производной полученного многочлена: $D'(t)=5000000000t-3200$. До найденного значения знак отрицательный, после — положительный. Поэтому речь о глобальном минимуме знаменателя и глобальном максимуме напряжения.

Ответ

$\omega=1250\ \text{с}^{-1}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)