Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045632

Частота положительна. Чтобы убрать корень, возведём напряжение в квадрат: для положительных значений это не меняет положение максимума.

Разделим числитель и знаменатель квадрата на $\omega^2$. Тогда

$$U_L^2=\dfrac{U^2L^2}{\dfrac{R^2}{\omega^2}+(L-\dfrac{1}{(C\omega^2)})^2}.$$

Введём $t=\dfrac{1}{\omega^2}$, где $t\gt0$. Числитель постоянен, поэтому напряжение максимально при минимальном знаменателе $D(t)=L^2+(R^2-\dfrac{2L}{C})t+\dfrac{t^2}{C^2}$.

Подставляем данные: $L^2=0{,}001296$, $R^2-\dfrac{2L}{C}=400-3600=-3200$, $\dfrac{1}{C^2}=2500000000$. Получаем параболу $D(t)=2500000000t^2-3200t+0{,}001296$.

Её ветви направлены вверх. Вершина достигается при $t_0=\dfrac{3200}{(2\cdot2500000000)}=0{,}00000064$. Это положительное число, значит оно допустимо. Более того, $D(t)=2500000000(t-t_0)^2+0{,}000272$, так что минимум единственный и знаменатель не обращается в ноль.

Возвращаемся к частоте: $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}00000064}}=\dfrac{1}{0{,}0008}=1250\ \text{с}^{-1}$.

Проверим преобразование: $\dfrac{1}{1250^2}=0{,}00000064$. При любом другом положительном $t$ к минимальному знаменателю добавляется положительный квадрат, поэтому напряжение меньше.