Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045631

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045631

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой $A(\tau)=k\theta_0\frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}$. Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0\lt n\lt 0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14{,}5$ с?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Период положителен. Разделив числитель и знаменатель амплитуды на $\tau^2$, получим $A=k\theta_0/\sqrt{1+(n-2)T^2/\tau^2+T^4/\tau^4}$.

Обозначим $z=T^2/\tau^2\gt0$. Квадрат знаменателя равен $Q(z)=z^2-(2-n)z+1$.

Его производная $Q'(z)=2z-(2-n)$ отрицательна до $z=(2-n)/2$ и положительна после. Минимум положителен: $Q_{min}=1-(2-n)^2/4=n(4-n)/4\gt0$.

Следовательно, амплитуда максимальна при $T^2/\tau^2=(2-n)/2$. Отсюда $\tau=T\sqrt{2/(2-n)}=14{,}5\sqrt{2/(2-n)}$ с.

Проверим выделением квадрата: $Q(z)=(z-(2-n)/2)^2+n(4-n)/4$. Первое слагаемое неотрицательно и обращается в нуль в найденной допустимой точке; меньшего знаменателя быть не может.

Ответ

$\tau=14{,}5\sqrt{\frac2{2-n}}$ с.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)