Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045630

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045630

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой $A(\tau)=k\theta_0\frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}$. Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0\lt n\lt 0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14$ с?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Положим $x=\tau^2/T^2\gt0$ и $c=2-n$. По условию $3/2\lt c\lt2$. После возведения амплитуды в квадрат и удаления постоянного множителя получим $F(x)=x^2/(x^2-cx+1)$.

Знаменатель положителен: $x^2-cx+1=(x-c/2)^2+1-c^2/4\gt0$, поскольку $c\lt2$.

Вычислим производную: $F'(x)=[2x(x^2-cx+1)-x^2(2x-c)]/(x^2-cx+1)^2=x(2-cx)/(x^2-cx+1)^2$.

Она положительна при $0\lt x\lt2/c$ и отрицательна при $x\gt2/c$. Значит, максимум при $x=2/c=2/(2-n)$.

Из $\tau^2/T^2=2/(2-n)$ и положительности периода получаем $\tau=T\sqrt{2/(2-n)}=14\sqrt{2/(2-n)}$ с.

Проверим иначе: величина, обратная $F$, равна $1-cu+u^2$ при $u=1/x$. Это парабола с минимумом при $u=c/2$, что снова даёт $x=2/c$.

Ответ

$\tau=14\sqrt{\frac2{2-n}}$ с.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)