Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045629

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045629

Распределение скорости молекулы гелия при тепловом движении имеет функцию плотности $f(v)=4\pi v^2\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac32}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$. (распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}004\,\frac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса гелия, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=350$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Положим $u=v^2$. На полуоси $v\ge0$ эта замена взаимно однозначна, поэтому максимум по скорости можно найти через максимум по $u\ge0$.

После удаления постоянного положительного множителя остаётся $F(u)=u e^{-\alpha u}$, где $\alpha=M/(2RT)\gt0$. Производная $F'(u)=e^{-\alpha u}(1-\alpha u)$.

Экспонента положительна, поэтому сначала функция растёт, затем убывает; максимум при $u=1/\alpha=2RT/M$. При $u=0$ значение нулевое.

Для $T=350$ получаем $u=700R/0{,}004=175000R=2500\cdot70R$. Возвращаясь к скорости, находим $v=\sqrt u=50\sqrt{70R}$ м/с.

Проверка прямой производной исходной функции даёт множитель $1-Mv^2/(2RT)$; он равен нулю при найденном $v$ и меняет знак с плюса на минус.

Ответ

$v=50\sqrt{70R}$ м/с.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)
Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045629 | Global EE