Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045628

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045628

Распределение скорости молекулы гелия при тепловом движении имеет функцию плотности $f(v)=4\pi v^2\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac32}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$. (распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}004\,\frac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса гелия, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=450$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Все постоянные соберём в $C\gt0$ и обозначим $\alpha=M/(2RT)\gt0$. Тогда $f(v)=Cv^2e^{-\alpha v^2}$, а скорость $v\ge0$.

Производная по правилу произведения и цепочки равна $f'(v)=2Cve^{-\alpha v^2}(1-\alpha v^2)$.

При $v\gt0$ первые множители положительны. Функция растёт до $v=1/\sqrt\alpha$ и убывает после. В нуле плотность равна нулю, поэтому максимум достигается при $v=\sqrt{2RT/M}$.

Подставим $T=450$, $M=0{,}004$: $2RT/M=900R/0{,}004=225000R=150^2\cdot10R$. Значит, $v=150\sqrt{10R}$ м/с.

Проверим заменой $u=\alpha v^2$: форма плотности пропорциональна $ue^{-u}$. Производная $e^{-u}(1-u)$ даёт максимум при $u=1$, то есть при той же скорости.

Ответ

$v=150\sqrt{10R}$ м/с.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)