Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045627

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045627

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=1{,}2$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома: $I=\frac\varepsilon{r+R}$, где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять зарядная станция.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Выразим мощность одной функцией сопротивления: $P(R)=3600R/(R+1{,}2)^2$, $R\ge0$.

По правилу производной дроби:

$$P'(R)=3600\frac{(R+1{,}2)^2-2R(R+1{,}2)}{(R+1{,}2)^4}=\frac{3600(1{,}2-R)}{(R+1{,}2)^3}.$$

Знаменатель положителен. До $R=1{,}2$ функция растёт, после убывает. Поэтому максимум достигается при $R=1{,}2$.

Его значение $P=3600\cdot1{,}2/(2{,}4)^2=4320/5{,}76=750$ Вт.

Проверим через ток: $I=60/2{,}4=25$ А, а $I^2R=625\cdot1{,}2=750$ Вт. На границе $R=0$ мощность равна нулю, при неограниченном росте $R$ стремится к нулю.

Ответ

$750$ Вт.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)