Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045625

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045625

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности $f(\varepsilon)=2\sqrt{\frac\varepsilon\pi}\cdot\left(\frac1{kT}\right)^{\frac32}\cdot e^{-\frac\varepsilon{kT}}$, где $k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\frac{\text{Дж}}{\text{К}}$ — постоянная Больцмана, $\varepsilon$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\varepsilon$, при котором функция плотности $f(\varepsilon)$ принимает наибольшее значение, если $T=80$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Квадрат неотрицательной плотности достигает максимума там же, где сама плотность. Постоянные положительные множители можно убрать, поэтому исследуем $F(\varepsilon)=\varepsilon e^{-2\varepsilon/(kT)}$ при $\varepsilon\ge0$.

Её производная равна $F'(\varepsilon)=e^{-2\varepsilon/(kT)}(1-2\varepsilon/(kT))$. Экспонента положительна: знак определяется скобкой.

Функция растёт на $[0;kT/2]$ и убывает после $kT/2$, поэтому максимум единственный и достигается при $\varepsilon=kT/2$.

Вычислим: $1{,}38\cdot80/2=55{,}2$, следовательно, $\varepsilon=55{,}2\cdot10^{-23}=5{,}52\cdot10^{-22}$ Дж.

Проверим безразмерной заменой $z=\varepsilon/(kT)$: форма квадрата плотности пропорциональна $ze^{-2z}$, её производная $e^{-2z}(1-2z)$ меняет знак при $z=1/2$. Это тот же результат.

Ответ

$\varepsilon=5{,}52\cdot10^{-22}$ Дж.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)