Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045624

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045624

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности $f(\varepsilon)=2\sqrt{\frac\varepsilon\pi}\cdot\left(\frac1{kT}\right)^{\frac32}\cdot e^{-\frac\varepsilon{kT}}$, где $k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\frac{\text{Дж}}{\text{К}}$ — постоянная Больцмана, $\varepsilon$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\varepsilon$, при котором функция плотности $f(\varepsilon)$ принимает наибольшее значение, если $T=450$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Все множители, кроме $\sqrt\varepsilon$ и экспоненты, постоянны и положительны. Обозначим их произведение через $C$. Тогда достаточно исследовать $f(\varepsilon)=C\sqrt\varepsilon e^{-\varepsilon/(kT)}$ при $\varepsilon\ge0$.

При $\varepsilon\gt0$ применим правило производной произведения:

$$f'(\varepsilon)=C e^{-\varepsilon/(kT)}\left(\frac1{2\sqrt\varepsilon}-\frac{\sqrt\varepsilon}{kT}\right)=\frac{C e^{-\varepsilon/(kT)}}{2kT\sqrt\varepsilon}(kT-2\varepsilon).$$

Множитель перед скобкой положителен. Производная положительна до $\varepsilon=kT/2$, а после отрицательна. Значит, это точка глобального максимума. На границе $\varepsilon=0$ плотность равна нулю.

Подставим данные: $kT=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot450=621\cdot10^{-23}=6{,}21\cdot10^{-21}$ Дж. Половина равна $3{,}105\cdot10^{-21}$ Дж.

Проверим через логарифм плотности: $\ln f=\ln C+\frac12\ln\varepsilon-\varepsilon/(kT)$. Его производная $1/(2\varepsilon)-1/(kT)$ обращается в нуль в той же точке и меняет знак с плюса на минус.

Ответ

$\varepsilon=3{,}105\cdot10^{-21}$ Дж.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)