Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045623

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045623

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

Рисунок к заданию 17 ЕГЭ по математике — Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой $l=h\cdot\frac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}$. Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=20$ м, $u=3$ м/с, $v=2{,}4$ м/с.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Поперечная скорость должна быть положительной, поэтому $0\lt\alpha\lt\pi$. При $u\gt v$ числитель формулы положителен на всём этом интервале.

Производная расстояния равна $l'(\alpha)=-h(v+u\cos\alpha)/(v\sin^2\alpha)$. Она меняет знак с минуса на плюс при $\cos\alpha=-v/u=-0{,}8$. Значит, здесь достигается минимум.

Синус этого угла положителен и равен $\sqrt{1-0{,}8^2}=0{,}6$. Подставляем: $l=20(3-2{,}4\cdot0{,}8)/(2{,}4\cdot0{,}6)=20\cdot1{,}08/1{,}44=15$ м.

Независимая проверка без производной: $(u+v\cos\alpha)^2-(u^2-v^2)\sin^2\alpha=(v+u\cos\alpha)^2\ge0$. Поэтому $l\ge h\sqrt{u^2-v^2}/v=20\cdot1{,}8/2{,}4=15$, и равенство действительно достигается при найденном угле.

Ответ

$15$ м.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)