Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045622

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045622

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

Рисунок к заданию 17 ЕГЭ по математике — Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой $l=h\cdot\frac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}$. Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=85$ м, $u=1{,}3$ м/с, $v=0{,}5$ м/с.

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Чтобы лодка пересекла реку, поперечная составляющая скорости должна быть положительна: $0\lt\alpha\lt\pi$. Исследуем $l(\alpha)=h(u+v\cos\alpha)/(v\sin\alpha)$.

По правилу производной дроби $l'(\alpha)=-h(v+u\cos\alpha)/(v\sin^2\alpha)$. Знаменатель положителен, поэтому критическая точка задаётся $\cos\alpha=-v/u=-5/13$.

При увеличении угла косинус убывает: до этой точки производная отрицательна, после положительна. Следовательно, это единственный минимум. На концах допустимого интервала расстояние стремится к бесконечности, поскольку $u\gt v$.

В найденной точке $\sin\alpha=\sqrt{1-25/169}=12/13$. Подставим: $u+v\cos\alpha=13/10-(1/2)(5/13)=72/65$, а $v\sin\alpha=6/13$.

Поэтому $l=85\cdot(72/65)/(6/13)=85\cdot12/5=204$ м.

Проверка общим выражением: минимум равен $h\sqrt{u^2-v^2}/v$, здесь $85\sqrt{1{,}69-0{,}25}/0{,}5=85\cdot1{,}2/0{,}5=204$.

Ответ

$204$ м.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)
Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045622 | Global EE