Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045621

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045621

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону $U_L(\omega)=\frac{UL\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)^2}}$, где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в с$^{-1}$), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=180$ В, $L=0{,}018$ Гн, $C=4\cdot10^{-5}$ Ф и $R=10$ Ом?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Ищем максимум при $\omega\gt0$. Поскольку амплитуда положительна, её квадрат достигает максимума при той же частоте.

После деления числителя и знаменателя на $\omega^2$ получаем $U_L^2=U^2L^2/[L^2+(R^2-2L/C)/\omega^2+1/(C^2\omega^4)]$. Значит, нужно минимизировать знаменатель.

Обозначим $t=1/\omega^2$. По условию $L^2=0{,}000324$, $R^2-2L/C=100-900=-800$, $1/C^2=625000000$.

Исследуем $q(t)=625000000t^2-800t+0{,}000324$ на $t\gt0$. Производная $q'(t)=1250000000t-800$ обращается в ноль при $t=0{,}00000064$. До этой точки знак отрицательный, после положительный — это минимум.

Отсюда $\omega=1/\sqrt{0{,}00000064}=1/0{,}0008=1250$ с$^{-1}$. Проверка: $q(t)=625000000(t-0{,}00000064)^2+0{,}000068$, так что найденный минимум положителен и достигается единственный раз.

Ответ

$\omega=1250$ с$^{-1}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)