Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045620

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045620

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону $U_L(\omega)=\frac{UL\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)^2}}$, где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в с$^{-1}$), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=180$ В, $L=0{,}045$ Гн, $C=2{,}5\cdot10^{-5}$ Ф и $R=20$ Ом?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Частота положительна. Подкоренное выражение положительно: к $R^2\gt0$ прибавляется неотрицательный квадрат скобки (сама скобка может оказаться и нулём). Значит, амплитуда положительна, и максимум напряжения можно искать через квадрат отношения $U_L/U$: возведение положительных чисел в квадрат сохраняет их порядок.

Разделим числитель и знаменатель этого квадрата на $\omega^2$. Получим $(U_L/U)^2=L^2/[L^2+(R^2-2L/C)/\omega^2+1/(C^2\omega^4)]$.

Числитель постоянен, поэтому нужно минимизировать знаменатель. Введём $t=1/\omega^2\gt0$. По данным $L^2=0{,}002025$, $R^2-2L/C=400-3600=-3200$, $1/C^2=1600000000$.

Знаменатель равен $q(t)=1600000000t^2-3200t+0{,}002025$. Дополняем до квадрата: $q(t)=1600000000(t-10^{-6})^2+0{,}000425$.

Минимум достигается при $t=10^{-6}$, это допустимое положительное значение. Отсюда $\omega^2=10^6$, $\omega=1000$ с$^{-1}$.

Проверка: постоянный остаток $0{,}000425$ положителен, поэтому знаменатель не обращается в ноль. Любое другое положительное $t$ увеличивает его и уменьшает напряжение. Амплитуда источника $U=180$ влияет на высоту максимума, но не на его положение.

Ответ

$\omega=1000$ с$^{-1}$.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)