Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045619

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045619

Распределение скорости молекулы кислорода при тепловом движении имеет функцию плотности $f(v)=4\pi v^2\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac32}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$ (распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}032\,\frac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса кислорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=400$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Скорость неотрицательна. Обозначим $c=M/(2RT)\gt0$ и вынесем постоянный положительный множитель плотности: остаётся исследовать $g(v)=v^2e^{-cv^2}$.

При $v\gt0$ удобно дифференцировать логарифм: $\ln g(v)=2\ln v-cv^2$. Его производная равна $2/v-2cv=2(1-cv^2)/v$.

Логарифм возрастает вместе с самой положительной функцией. Производная положительна при $v\lt1/\sqrt c$ и отрицательна при $v\gt1/\sqrt c$. Поэтому максимум достигается в $v=1/\sqrt c$.

Конец области $v=0$ проверяем отдельно: плотность там нулевая, тогда как в найденной точке положительна. Следовательно, $v=\sqrt{2RT/M}=\sqrt{800R/0{,}032}=\sqrt{25000R}=50\sqrt{10R}$ м/с.

Проверим обычной производной: $g'(v)=2ve^{-cv^2}(1-cv^2)$, она даёт ту же смену знака. Точное выражение сохраняет $R$, поскольку численное значение этой постоянной не задано.

Ответ

$v=50\sqrt{10R}$ м/с.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)