Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045618

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045618

Распределение скорости молекулы кислорода при тепловом движении имеет функцию плотности $f(v)=4\pi v^2\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac32}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$ (распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}032\,\frac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса кислорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=500$ К?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

При фиксированной температуре все множители, кроме $v^2$ и экспоненты, постоянны и положительны. Поэтому достаточно найти максимум $g(v)=v^2e^{-cv^2}$, где $c=M/(2RT)\gt0$, $v\ge0$.

Производная равна $g'(v)=2ve^{-cv^2}+v^2e^{-cv^2}(-2cv)=2ve^{-cv^2}(1-cv^2)$.

При $v\gt0$ первые множители положительны. Производная положительна до $v=1/\sqrt c$ и отрицательна после него, поэтому это точка максимума. При $v=0$ функция равна нулю, что не даёт максимума.

Таким образом, $v=\sqrt{2RT/M}$. Подставляем $T=500$ и $M=0{,}032$: $v=\sqrt{1000R/0{,}032}=\sqrt{31250R}=125\sqrt{2R}$ м/с.

Проверка: в этой точке $cv^2=1$, и производная обращается в ноль. При стремлении скорости к бесконечности экспонента подавляет квадрат скорости и плотность стремится к нулю. Число для $R$ в условии не задано, поэтому сохраняем его в точном выражении.

Ответ

$v=125\sqrt{2R}$ м/с.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)