Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045617

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045617

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома: $I=\frac{\varepsilon}{r+R}$, где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. При каком сопротивлении $R$ зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

Выразим мощность через единственную изменяемую величину — сопротивление станции. Подставляя закон Ома в формулу мощности, получаем $P(R)=3600R/(R+2)^2$, где $R\gt0$.

По правилу производной дроби $P'(R)=3600((R+2)^2-2R(R+2))/(R+2)^4=3600(2-R)/(R+2)^3$.

Знаменатель положителен. При $0\lt R\lt2$ производная положительна, а при $R\gt2$ отрицательна. Значит, мощность сначала растёт, затем убывает, и максимум достигается при $R=2$ Ом.

Проверим без производной: $(R-2)^2\ge0$ даёт $(R+2)^2\ge8R$, поэтому $P(R)\le3600/8=450$ Вт. Равенство возможно именно при $R=2$.

Ответ

$R=2$ Ом.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)
Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045617 | Global EE