Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00045616

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах

№2. Задание 17

ID: 00045616

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=0{,}8$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома: $I=\frac{\varepsilon}{r+R}$, где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. При каком сопротивлении $R$ зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность $P$ будет наибольшей?

Источник: Сборник Ященко 2027

Решение

После подстановки тока мощность равна $P(R)=3600R/(R+0{,}8)^2$, где $R\ge0$. Вопрос требует сопротивление, при котором мощность максимальна.

Для $R\gt0$ перепишем мощность как $P=3600/(R+1{,}6+0{,}64/R)$. Знаменатель можно представить в виде $3{,}2+(R-0{,}8)^2/R$.

Второе слагаемое неотрицательно, и его минимум 0 достигается только при $R=0{,}8$. Поэтому именно такое сопротивление даёт наибольшую мощность. При $R=0$ мощность нулевая и максимумом не является.

Проверим производной: $P'(R)=3600(0{,}8-R)/(R+0{,}8)^3$. До найденного сопротивления она положительна, после отрицательна. Это подтверждает максимум при $0{,}8$ Ом.

Ответ

$R=0{,}8$ Ом.

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в физических задачах» (8)